الجبر الخطي الأمثلة

$\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{x^{2}}{169}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{169}$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

خطوة 3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

خطوة 3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $25$ في $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $25 (- \frac{x^{2}}{169})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $25$ .

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{169}$

خطوة 3.2.1.3.2

اجمع $- 25$ و $\frac{x^{2}}{169}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{169}$

خطوة 3.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{169}$

خطوة 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{169}}$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $\frac{25 x^{2}}{169}$ بالصيغة ${(\frac{5 x}{13})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{13})}^{2}}$

خطوة 5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 5$ و $b = \frac{5 x}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.3

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \cdot \frac{13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.4

اجمع $5$ و $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 \cdot 13 + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.6

أخرِج العامل $5$ من $5 \cdot 13 + 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.6.2

أخرِج العامل $5$ من $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 (x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.6.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (13) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.7

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 \cdot \frac{13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.8

اجمع $5$ و $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (\frac{5 \cdot 13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

خطوة 5.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 \cdot 13 - 5 x}{13}}$

خطوة 5.10

أخرِج العامل $5$ من $5 \cdot 13 - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) - 5 x}{13}}$

خطوة 5.10.2

أخرِج العامل $5$ من $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) + 5 (- x)}{13}}$

خطوة 5.10.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (13) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13 - x)}{13}}$

خطوة 5.11

اضرب $\frac{5 (13 + x)}{13}$ في $\frac{5 (13 - x)}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x) (5 (13 - x))}{13 \cdot 13}}$

خطوة 5.12

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.1

اضرب $5$ في $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{13 \cdot 13}}$

خطوة 5.12.2

اضرب $13$ في $13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}}$

خطوة 5.13

أعِد كتابة $\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}$ بالصيغة ${(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $5^{2}$ من $25 (13 + x) (13 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{169}}$

خطوة 5.13.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $13^{2}$ من $169$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}}$

خطوة 5.13.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))}$

خطوة 5.14

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{5}{13} \sqrt{(13 + x) (13 - x)}$

خطوة 5.15

اجمع $\frac{5}{13}$ و $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

خطوة 6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

خطوة 6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

خطوة 7

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(13 + x) (13 - x) \geq 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$13 + x = 0$

$13 - x = 0$

خطوة 8.2

عيّن قيمة العبارة $13 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عيّن قيمة $13 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$13 + x = 0$

خطوة 8.2.2

اطرح $13$ من كلا المتعادلين.

$x = - 13$

خطوة 8.3

عيّن قيمة العبارة $13 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عيّن قيمة $13 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$13 - x = 0$

خطوة 8.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $13 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اطرح $13$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 13$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 13$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 13$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.3.1

اقسِم $- 13$ على $- 1$ .

$x = 13$

خطوة 8.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(13 + x) (13 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 13, 13$

خطوة 8.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 13$

$- 13 < x < 13$

$x > 13$

خطوة 8.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 13$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 13$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 16$

خطوة 8.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 16$ في المتباينة الأصلية.

$(13 - 16) (13 - (- 16)) \geq 0$

خطوة 8.6.1.3

الطرف الأيسر $- 87$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 13 < x < 13$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 13 < x < 13$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 8.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(13 + 0) (13 - (0)) \geq 0$

خطوة 8.6.2.3

الطرف الأيسر $169$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 13$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 13$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 16$

خطوة 8.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $16$ في المتباينة الأصلية.

$(13 + 16) (13 - (16)) \geq 0$

خطوة 8.6.3.3

الطرف الأيسر $- 87$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 13$ خطأ

$- 13 < x < 13$ صحيحة

$x > 13$ خطأ

$x < - 13$ خطأ

$- 13 < x < 13$ صحيحة

$x > 13$ خطأ

خطوة 8.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 13 \leq x \leq 13$

خطوة 9

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 13, 13]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 13 \leq x \leq 13}$

خطوة 10